不论插入，删除还是访问，我们可以发现它们的复杂度都和操作的复杂度同阶，只是一点常数的区别
我们不妨假设有个点的，进行了次操作
采用势能分析
我们记，注意以为底和上取整
我们定义势能函数为
（记第次操作操作完之后，势能为）
只需要估计出的大小即可
（即初始势能和每次的势能变化量的和）
显然，
操作的具体定义为：
如果父节点是根，那么旋转一次
如果父节点和爷节点所处子树方向一致，那么先旋转父亲再旋转自己
否则，旋转两次自己
实际上可以归结于，，，，，操作
由于和是对称的操作
因此，只需要对，，操作分析复杂度即可
势能的变化量为
势能变化量为（缩小了常数的影响，但不能无视）
这是神仙复杂度证明中非常神奇的地方，通过一些有趣的性质，让常数项的代价合并到了势能的变化中
我们不妨设，那么注意到
由于$2w'(x) – w'(g) – w(x) = left lceil log_2 (a + b + 1)
ight
ceil – left lceil log_2 a
ight
ceil + left lceil log_2 a + b + 1
ight
ceil – left lceil log_2 b
ight
ceil $
注意到在上式中是对称的，不妨设
因此有，我们将中的放缩，可以得到
势能变化量为
由上文的结论，我们知道这里可以把放缩成
因此
把以上三种操作的势能全部放缩为
不妨假设一次，依次访问了点，最后会成为新的根
那么，最后的势能实际上是
因此，
即个点的，做次操作，复杂度为
不咕了….
的所有操作可以看做只有操作，其他都是常数
那么操作一共有两部分
-
在中走的复杂度
-
访问虚边的复杂度
首先是在中走的复杂度
定义，指的所有虚边和实边的子树大小的和
我们定义势能函数为
不妨设它依次访问了
那么，类似上文的复杂度分析，我们可以得到总的一次势能变化量为
这也就是的的性质
初始势能为，因此这一部分的复杂度为
访问虚边的复杂度
我们定义势能函数，为所有重虚边（儿子的子树大小大于等于自己的二分之一的虚边）的数量
那么，每次访问至多走条轻虚边，也就至多带来条重虚边，也就是以的代价增加的势能
而每次访问一条重虚边就需要付出的代价来减小的势能，并且访问完重虚边之后，不会有新的重虚边产生
因此，最终的复杂度是初始势能和势能变化量（实际操作的代价和势能变化量相同）的和，也就是
因此，的复杂度为
