Yuan W, Li S, Wei Z, et al. New delay Doppler communication paradigm in 6G era: A survey of orthogonal time frequency space (OTFS)[J]. China Communications, 2023, 20(6): 1-25.
随着第五代（5G）无线系统在全球范围内的标准化和商业化部署，无线通信技术已经进入了一个新的时代。5G系统通过大规模MIMO、毫米波通信和网络切片等关键技术，实现了增强型移动宽带（eMBB）、超可靠低延迟通信（URLLC）和大规模机器类通信（mMTC）三大应用场景。然而，面向2030年及以后的通信需求，5G系统仍存在一些根本性限制，特别是在覆盖范围和高移动性支持方面。
传统的地面无线通信受到覆盖和容量限制的阻碍，5G系统无法普遍支持高数据速率和可靠性，而这正是6G无线系统的主要目标之一。为了突破这些限制，空天地一体化网络（SAGIN）被确定为6G的关键使能技术。SAGIN通过整合卫星、高空平台、无人机和地面网络，能够实现真正的全球覆盖和无缝连接。
在SAGIN架构下，各种高移动性应用场景成为常态。例如，在车对车（V2V）通信中，相对速度可达300公里/小时；在高速铁路（HSR）移动服务中，通信设备的速度可达500公里/小时；而在飞机上的移动通信（MCA）和低地球轨道（LEO）卫星通信中，用户设备的移动速度更高。这些场景带来的主要技术挑战是严重的多普勒扩展效应。
在毫米波频段，即使是较小的用户设备速度也会导致显著的多普勒频移。传统的正交频分复用（OFDM）技术虽然通过采用循环前缀（CP）可以有效克服多径效应引起的符号间干扰（ISI），但在双选择性信道中会失效。高多普勒频移会导致非常短的信道相干时间，破坏OFDM子载波之间的正交性，导致载波间干扰（ICI）。
正交时频空间（OTFS）技术最初由Hadani等人在2017年提出，作为高移动性无线应用的突破性解决方案。与在时频（TF）域调制数据的传统方法不同，OTFS在延迟-多普勒（DD）域调制信息。这一创新带来了多项显著优势：
- 多普勒和延迟弹性：通过在DD域工作，OTFS自然地适应了信道的物理特性
- 降低的信令延迟：得益于降低的循环前缀帧结构
- 更低的峰均功率比（PAPR）：相比OFDM显著降低
- 降低复杂度的实现：利用DD域信道的稀疏性
无线信道在延迟-多普勒域的表征可以追溯到Bello在1963年的开创性工作。对于线性时变信道，其输入输出关系可以表示为：
$$y(t) = int h( au, t)x(t- au)d au$$
其中$h( au, t)$是时变信道脉冲响应。通过傅里叶变换，我们可以得到不同的信道表示形式。
图2描述：该图展示了时延域有效信道的三维可视化。横轴和纵轴分别表示时间（ms）和延迟（ms），垂直轴表示信道响应的幅度。可以观察到信道响应在时延域中呈现出多个峰值，这些峰值对应于不同的传播路径。信道响应的幅度随时间变化，反映了信道的时变特性。颜色从蓝色到青色的渐变表示响应强度的变化。
对于广义平稳非相关散射（WSSUS）信道，其散射函数$S( au,
u)$可以完全表征信道特性，其中$ au$表示延迟，$
u$表示多普勒频移。信道的延迟-多普勒表示具有以下重要性质：
$$S( au,
u) = E[|h( au,
u)|^2]$$
其中$h( au,
u)$是延迟-多普勒扩展函数。
图3描述：时频域有效信道的三维表示。图中显示了信道响应在时间和频率维度上的变化。可以看到多个尖锐的峰值分布在整个时频平面上，这些峰值代表了不同延迟和多普勒频移的路径分量。与DD域表示相比，时频域的信道响应显示出更复杂的时变特性，峰值位置随时间快速变化。
DD域信道表示的一个关键优势是其时间稳定性。考虑一个具有$P$条路径的多径信道，其DD域表示为：
$$h( au,
u) = sum_{i=1}^{P} h_i delta( au – au_i)delta(
u –
u_i)$$
其中$h_i$、$ au_i$和$
u_i$分别表示第$i$条路径的复增益、延迟和多普勒频移。这些参数与物理传播环境直接相关：
$$ au_i = frac{d_i}{c}, quad
u_i = frac{v_i f_c}{c}$$
其中$d_i$是传播距离，$v_i$是相对速度，$f_c$是载波频率，$c$是光速。
图4描述：延迟多普勒域有效信道的三维可视化。这是OTFS系统的核心表示形式。图中清晰地显示了信道在DD域的稀疏特性，只有少数几个显著的峰值，每个峰值对应一条物理传播路径。横轴表示延迟（ms），纵轴表示多普勒频率（kHz），垂直轴表示信道增益。与时频域表示相比，DD域信道呈现出明显的稀疏性和稳定性，这正是OTFS技术的理论基础。紫色的峰值清晰地标识出每条路径的延迟和多普勒特征。
OTFS系统在一个大小为$M imes N$的DD网格上传输数据，其中$M$是延迟bins的数量，$N$是多普勒bins的数量。设$x[k,l]$表示在多普勒索引$k$和延迟索引$l$处放置的数据符号，OTFS调制过程可以描述为：
首先，通过逆辛有限傅里叶变换（ISFFT）将DD域信号转换为时频域：
$$X[n,m] = frac{1}{sqrt{MN}} sum_{k=0}^{N-1} sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{j2pi(frac{nk}{N} – frac{ml}{M})}$$
然后，通过Heisenberg变换将时频域信号转换为时域：
$$s(t) = sum_{n=0}^{N-1} sum_{m=0}^{M-1} X[n,m] g_{tx}(t – nT) e^{j2pi mDelta f(t-nT)}$$
其中$g_{tx}(t)$是发射脉冲整形函数，$T$是OTFS符号持续时间，$Delta f$是子载波间隔。
图5描述：OTFS实现的两种架构对比。图5(a)展示了基于OFDM的两步转换方法，数据从DD域经过ISFFT转换到TF域，再通过多载波调制转换到时域，经过信道传输后，在接收端执行相反的操作。图5(b)展示了基于Zak变换的直接转换方法，通过Zak变换直接在DD域和时域之间转换，避免了中间的TF域处理，显著降低了实现复杂度。两种方法在功能上等效，但Zak变换方法在计算效率上具有优势。
经过多径衰落信道传输后，接收信号可以表示为：
$$r(t) = int int h( au,
u) s(t- au) e^{j2pi
u(t- au)} d au d
u + w(t)$$
其中$h( au,
u)$是信道的延迟-多普勒响应，$w(t)$是加性高斯白噪声。
在接收端，经过匹配滤波和采样后，DD域的输入输出关系可以简化为：
$$y[k,l] = sum_{k’=0}^{N-1} sum_{l’=0}^{M-1} h_{eff}[k,l,k’,l’] x[k’,l’] + w[k,l]$$
其中$h_{eff}$是有效信道矩阵，它具有特殊的结构特性。
对于理想的脉冲整形和整数延迟/多普勒的情况，有效信道矩阵具有独特的块循环结构：
$$mathbf{H}_{eff} = sum_{i=1}^{P} h_i mathbf{Pi}^{l_i} mathbf{Delta}^{k_i}$$
其中$mathbf{Pi}$是延迟移位矩阵，$mathbf{Delta}$是多普勒移位矩阵，定义为：
$$[mathbf{Pi}]_{i,j} = delta_{(i-j) bmod M}, quad [mathbf{Delta}]_{i,j} = e^{j2pi ij/N} delta_{i,j}$$
这种结构使得每行和每列恰好有$P$个非零元素，其中$P$是可分辨路径的数量。
4.1.1 脉冲整形设计
脉冲整形对OTFS系统性能有重要影响。理想脉冲应满足双正交性条件：
$$langle g_{tx}(t-nT)e^{j2pi mDelta f t}, g_{rx}(t-n’T)e^{j2pi m’Delta f t}
angle = delta_{n,n’}delta_{m,m’}$$
实际系统中常用的脉冲包括矩形脉冲、升余弦脉冲和根升余弦脉冲。对于矩形脉冲，其频域表达式为：
$$G_{rect}(f) = T cdot ext{sinc}(fT) e^{-jpi fT}$$
4.1.2 功率分配优化
考虑信道状态信息（CSI）可用的情况，可以设计最优功率分配来最小化误码率。优化问题可以表述为：
$$min_{p[k,l]} sum_{k,l} Qleft(sqrt{frac{2|h[k,l]|^2 p[k,l]}{N_0}}
ight)$$
受限于总功率约束：
$$sum_{k,l} p[k,l] = P_{total}$$
其中$Q(cdot)$是Q函数，$N_0$是噪声功率谱密度。
4.2.1 导频设计
在DD域中插入导频符号进行信道估计。一种有效的导频模式是在DD网格中放置单个脉冲导频，周围环绕保护区域：
$$x_p[k,l] = begin{cases} sqrt{P_p}, & (k,l) = (k_p, l_p) \ 0, & (k,l) in ext{Guard Region} \ ext{Data}, & ext{otherwise} end{cases}$$
其中$(k_p, l_p)$是导频位置，$P_p$是导频功率。
4.2.2 基于压缩感知的信道估计
利用DD域信道的稀疏性，信道估计问题可以表述为稀疏信号恢复问题：
$$min_{mathbf{h}} |mathbf{y}_p – mathbf{A}mathbf{h}|_2^2 + lambda |mathbf{h}|_1$$
其中$mathbf{y}_p$是导频位置的接收信号，$mathbf{A}$是测量矩阵，$lambda$是正则化参数。
可以使用正交匹配追踪（OMP）算法或基于贝叶斯的稀疏学习算法求解此优化问题。
4.3.1 消息传递算法（MPA）
MPA通过在因子图上迭代传递概率消息来检测OTFS符号。设$mu{x[k,l] o y[k’,l’]}$表示从变量节点$x[k,l]$到观察节点$y[k’,l’]$的消息，$mu{y[k’,l’] o x[k,l]}$表示反向消息。
消息更新规则为：
$$mu_{x[k,l] o y[k’,l’]}^{(i)} = P(x[k,l]) prod_{(k”,l”)
eq (k’,l’)} mu_{y[k”,l”] o x[k,l]}^{(i-1)}$$
$$mu_{y[k’,l’] o x[k,l]}^{(i)} propto expleft(-frac{|y[k’,l’] – sum_{(k”,l”)} h_{eff}[k’,l’,k”,l”] hat{x}[k”,l”]|^2}{N_0}
ight)$$
其中$hat{x}[k”,l”]$是基于当前消息的符号估计。
4.3.2 线性检测器
对于低复杂度实现，可以使用线性检测器。MMSE检测器的解为：
$$hat{mathbf{x}} = (mathbf{H}_{eff}^H mathbf{H}_{eff} + sigma_w^2 mathbf{I})^{-1} mathbf{H}_{eff}^H mathbf{y}$$
利用$mathbf{H}_{eff}$的块循环结构，矩阵求逆可以通过快速傅里叶变换（FFT）高效实现，复杂度从$O(M^3N^3)$降低到$O(MNlog(MN))$。
在OTFS-ISAC系统中，同一信号同时用于通信和感知。对于感知功能，接收到的回波信号可以表示为：
$$y_{radar}(t) = sum_{i=1}^{L} alpha_i s(t – au_i) e^{j2pi
u_i t} + w(t)$$
其中$L$是目标数量，$alpha_i$、$ au_i$和$
u_i$分别是第$i$个目标的反射系数、延迟和多普勒频移。
目标参数与物理量的关系为：
$$R_i = frac{c au_i}{2}, quad v_i = frac{c
u_i}{2f_c}$$
其中$R_i$是目标距离，$v_i$是径向速度。
ISAC系统的信号设计需要在通信和感知性能之间取得平衡。优化问题可以表述为：
$$max_{mathbf{x}} alpha C(mathbf{x}) + (1-alpha) S(mathbf{x})$$
其中$C(mathbf{x})$是通信容量，$S(mathbf{x})$是感知性能指标（如参数估计的克拉美罗下界），$alpha in [0,1]$是权重因子。
对于OTFS-ISAC，通信容量可以表示为：
$$C(mathbf{x}) = log_2 detleft(mathbf{I} + frac{1}{sigma_w^2}mathbf{H}_{eff} ext{diag}(mathbf{x})mathbf{H}_{eff}^H
ight)$$
感知性能的克拉美罗下界（CRLB）为：
$$ ext{CRLB}( heta) = [mathbf{J}^{-1}]_{ heta, heta}$$
其中$mathbf{J}$是费舍尔信息矩阵，$ heta$是待估计的参数（延迟或多普勒）。
在可见光通信系统中，OTFS调制需要考虑LED的非线性特性和正实数约束。DC偏置光OTFS（DCO-OTFS）系统的信号模型为：
$$s_{VLC}(t) = s_{DC} + ext{Re}{s_{OTFS}(t)}$$
其中$s_{DC}$是直流偏置，确保信号始终为正。
VLC信道的DD域表示通常是稀疏的，主要包含直射路径和少量反射路径：
$$h_{VLC}( au,
u) = h_0delta( au)delta(
u) + sum_{i=1}^{L} h_idelta( au – au_i)delta(
u)$$
注意VLC信道通常是准静态的，因此多普勒分量为零。
水声信道具有独特的传播特性，声速约为1500 m/s，远低于电磁波。这导致严重的延迟扩展（可达数百毫秒）和多普勒扩展。水声OTFS系统的信道模型为：
$$h_{UWA}( au,
u; t) = sum_{p} A_p(t) delta( au – au_p(t)) delta(
u –
u_p(t))$$
其中时变特性由海面波动和水流引起。
LEO卫星通信面临极高的多普勒频移，可达数百kHz。对于工作在Ka频段（30 GHz）的LEO卫星，相对速度7.5 km/s产生的最大多普勒频移为：
$$
u_{max} = frac{2v_{rel}f_c}{c} = frac{2 imes 7500 imes 30 imes 10^9}{3 imes 10^8} = 1.5 ext{ MHz}$$
OTFS通过在DD域直接处理这些大多普勒频移，避免了OFDM系统中的严重ICI问题。
考虑连续时间OTFS系统，DD域符号$x(
u, au)$通过Zak变换转换为时域信号：
$$s(t) = int_{0}^{ au_{max}} int_{-
u_{max}}^{
u_{max}} x(
u, au) phi(
u, au) e^{j2pi
u t} d
u d au$$
其中$phi(
u, au)$是DD域基函数。
对于离散实现，使用采样间隔$T_s = 1/B$（其中$B$是带宽）和OTFS帧持续时间$T_f = NT_s$，离散时间模型变为：
$$s[n] = frac{1}{sqrt{MN}} sum_{k=0}^{N-1} sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{N}} e^{M}}$$
考虑具有$P$条路径的多径信道，第$i$条路径的延迟为$ au_i = l_i T_s + epsilon_i T_s$，多普勒频移为$
u_i = k_i/(NT_s) + kappa_i/(NT_s)$，其中$l_i$和$k_i$是整数部分，$epsilon_i$和$kappa_i$是分数部分。
对于矩形脉冲，有效信道矩阵元素为：
$$h_{eff}[k,l,k’,l’] = sum_{i=1}^{P} h_i frac{sin(pi(l-l’-l_i-epsilon_i))}{pi(l-l’-l_i-epsilon_i)} cdot frac{sin(pi(k-k’-k_i-kappa_i))}{sin(pi(k-k’-k_i-kappa_i)/N)}$$
当$epsilon_i = kappa_i = 0$（整数延迟和多普勒）时，简化为：
$$h_{eff}[k,l,k’,l’] = sum_{i=1}^{P} h_i delta_{(l-l’) bmod M, l_i} cdot e^{j2pi k_i k’/N} delta_{(k-k’) bmod N, k_i}$$
OTFS的成对错误概率（PEP）可以表示为：
$$P(mathbf{x} o hat{mathbf{x}}) leq prod_{i=1}^{r} frac{1}{1 + frac{lambda_i ext{SNR}}{4}}$$
其中$r$是差分矩阵$mathbf{H}{eff}(mathbf{X} – hat{mathbf{X}})mathbf{H}{eff}^H$的秩，$lambda_i$是其非零特征值。
对于全分集，需要$r = MN$。通过适当的相位旋转：
$$x[k,l] = ilde{x}[k,l] e^{j heta_{k,l}}$$
其中$ heta_{k,l} = 2pialpha kl/sqrt{MN}$，$alpha$是无理数（如$sqrt{2}$），可以保证实现全分集。
OTFS信号的峰值功率定义为：
$$P_{peak} = max_t |s(t)|^2$$
平均功率为：
$$P_{avg} = frac{1}{T_f} int_0^{T_f} |s(t)|^2 dt = frac{1}{MN} sum_{k,l} |x[k,l]|^2$$
PAPR的累积分布函数（CDF）近似为：
$$F_{PAPR}(gamma) approx left(1 – e^{-gamma/bar{gamma}}
ight)^{MN}$$
其中$bar{gamma}$是平均PAPR。对于大$MN$，PAPR近似服从：
$$ ext{PAPR} approx bar{gamma} ln(MN)$$
这表明OTFS的PAPR随DD网格大小对数增长，而OFDM的PAPR线性增长。
在高信噪比条件下，OTFS系统的遍历容量可以近似为：
$$C = mathbb{E}left[log_2 detleft(mathbf{I} + frac{ ext{SNR}}{MN}mathbf{H}_{eff}mathbf{H}_{eff}^H
ight)
ight]$$
利用Jensen不等式和矩阵行列式的性质：
$$C geq MN log_2left(1 + frac{ ext{SNR}}{MN} cdot frac{1}{MN} ext{tr}(mathbf{H}_{eff}mathbf{H}_{eff}^H)
ight)$$
对于归一化信道（$ ext{tr}(mathbf{H}{eff}mathbf{H}{eff}^H) = MNP$），容量下界变为：
$$C geq MN log_2left(1 + frac{P cdot ext{SNR}}{MN}
ight)$$
这表明OTFS可以获得与路径数量$P$成比例的功率增益，这是由于其固有的分集增益。
标准MPA的每次迭代复杂度为$O(MNP|Q|)$，其中$|Q|$是调制阶数。通过利用消息的稀疏性和高斯近似，复杂度可以降低到$O(MNP^2)$。
直接MMSE检测需要$O((MN)^3)$的复杂度用于矩阵求逆。利用块循环结构和FFT，复杂度降低到$O(MNlog(MN) + P^3MN)$。
对于典型参数（$M=128$，$N=16$，$P=6$），这意味着从约$8.6 imes 10^9$次运算降低到约$1.1 imes 10^6$次运算，实现了三个数量级的复杂度降低。
