1、上海师范大学上海师范大学110. 3 波波 的的 能能 量量前一章讨论了简谐振动的能量前一章讨论了简谐振动的能量, 振动系统既有动能也有势能振动系统既有动能也有势能.波动有没有能量波动有没有能量? 有何特点有何特点 ? 位移位移)cos(tAx)(sin21212222tAmmEk动能动能振动速度振动速度)sin(tA)(cos2121222tkAkxEk势能势能常数221kAEEEpk总能总能动能和势能都随时间变化动能和势能都随时间变化, 且相位相差且相位相差 /2; 即动能增大时势能减小即动能增大时势能减小, 反之亦然反之亦然.质点在振动过程中的总能量保持不变质点在振动过程中的总能量保持不
2、变.显然显然, 波动应当有能量波动应当有能量, 因为波动过程因为波动过程中中, 波线上各质点都作简谐振动波线上各质点都作简谐振动;不仅如止不仅如止, 波动过程伴随有能量的传递波动过程伴随有能量的传递 !如何计算波的能量如何计算波的能量 ? 如何计算波动过程中传递的能量如何计算波动过程中传递的能量 ?/16上海师范大学上海师范大学2一、波动能量的传播一、波动能量的传播如前所述，当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近如前所述，当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而振动，因而具有振动动能具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而同时，介质发生弹性形变，因而具
3、有弹性势能具有弹性势能. xxOxdxOyyyd以固体棒中传播的以固体棒中传播的纵波纵波为例分析波动能量的传播为例分析波动能量的传播. 所得到的结论具有普遍意义所得到的结论具有普遍意义.如图所示如图所示, 设有一纵波沿棒传播设有一纵波沿棒传播. 体积元的体积元的振动动能振动动能为为22kd21d21dvvVmW分析在棒上距原点分析在棒上距原点x处的一个微小体积元处的一个微小体积元dx 的能量的能量.波动方程为波动方程为)(cosuxtAy.d,dd为体积元的体积为体积元的质量VVm体积元的体积元的振动速度振动速度为为)(sinuvxtAty1. 体积元的振动动能体积元的振动动能10. 3 波波
4、 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大学3xxOxdxOyyyd22kd21d21dvvVmW)(sinuvxtAty 由此可得波动过程中由此可得波动过程中体积元的振动动能体积元的振动动能2. 体积元的弹性势能体积元的弹性势能)(sind21d222kuxtVAW(1)如图所示如图所示, 体积元发生形变体积元发生形变, 因而具有弹性势能因而具有弹性势能. 形变量为形变量为dy .)(d21d2P为棒的劲度系数kykW弹性势能弹性势能将将k代入得到代入得到体积元的弹性势能体积元的弹性势能为为22Pd21ddxydVuW2221xydVu(2)对于固体中传播的纵波对于固体中传播的纵波, 根
5、据弹性模量根据弹性模量E的定义式的定义式llESFllESF即,.,)(,2为波速杨氏模量弹性模量uuEdxSEk可得劲度系数为可得劲度系数为10. 3 波波 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大学4xxOxdxOyyyd2221xydVudWp(2)因为因为)(cosuxtAy)(sinuxtAuxy所以所以上式代入上式代入(2)式式, 有有22)(sin21uxtAudVudWp)(sind21222uxtVA(3)3. 体积元的总机械能体积元的总机械能pkdddWWW)(sind21)(sind21222222uxtVAuxtVA)(sind222uxtVA(4)比较比较(1)式
6、和式和(3)式式, 可知体积元的振动动能与它的弹性势能可知体积元的振动动能与它的弹性势能时时相等时时相等 ! 即即pkddWW 10. 3 波波 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大学5讨讨 论论1) 在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随势能、总机械能均随 作作 周期性变化，且变化是周期性变化，且变化是同相位同相位的的. 而简谐运动的动能与势能的相位相差而简谐运动的动能与势能的相位相差 /2.tx,波动过程的能量与简谐运动的能量有不同的变化规律波动过程的能量与简谐运动的能量有不同的变化规律.)(sind21d222kuxtVA
7、W振动动能振动动能)(sind21222uxtVAdWp弹性势能弹性势能)(sind222uxtVAdW总机械能总机械能波的传播波的传播)(sin21222tAmEk动能动能)(cos2122tkAEk势能势能简谐运动简谐运动2222121kAAmE总能总能 2) 体积元在平衡位置时体积元在平衡位置时(此时此时y=0, ), 动能、势能和总机械能均最大动能、势能和总机械能均最大.2utxt3) 体积元的位移最大时体积元的位移最大时(此时此时y最大最大, ), 动能、势能和总机械能均为零动能、势能和总机械能均为零. 0utxt则10. 3 波波 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大学64
8、） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量传播能量 . 任一任一 体积元的体积元的机械能不守恒机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式波动是能量传递的一种方式 .)(sindd222uxtVAW能量密度能量密度：单位体积单位体积介质中的波动能量介质中的波动能量.平均平均能量密度能量密度：能量密度在一个周期内的平均值：能量密度在一个周期内的平均值 .二、能量密度二、能量密度根据上面的讨论可知根据上面的讨论可知, 波在介质中传播时波在介质中传播时, 同一时刻不同位置上的介质能量不同同一时刻不同位置上的介质能量不同; 同同一位置上不同时刻的
9、能量也不同一位置上不同时刻的能量也不同. 且能量与介质的体积成正比且能量与介质的体积成正比.为了更精确地描述介质中的能量分布情况为了更精确地描述介质中的能量分布情况, 引入波的能量密度的概念引入波的能量密度的概念.)(sindd222uxtAVWw(5)可见可见, 介质中任一点处介质中任一点处, 波的能量密度是随时间变化的波的能量密度是随时间变化的.可见可见, 尽管能量密度是随时间变化尽管能量密度是随时间变化, 但但平均能量密度平均能量密度却是却是常数常数. 由波源和介质性质决定由波源和介质性质决定.TwdtTw0122022221)(sin1AdtuxtATT(6)10. 3 波波 的的 能
10、能 量量/16上海师范大学上海师范大学7三、波的能流和能流密度三、波的能流和能流密度1. 能流：能流：单位时间单位时间内内垂直垂直通过某一面积通过某一面积S的能量的能量. 2. 平均能流：平均能流：一个周期内能流的平均值一个周期内能流的平均值.SuwP uwSPI3. 能流密度能流密度 ( 波的强度波的强度 ) : 通过垂直于波传播方向的通过垂直于波传播方向的单位面积单位面积的平均能流的平均能流. 如前所述如前所述, 波的传播过程也就是能量的传播过程波的传播过程也就是能量的传播过程. 为了表示能量的流动性为了表示能量的流动性, 引引入能流和能流密度的概念入能流和能流密度的概念.wuSVwP(7
11、)(sin222uxtAuS能流也随时间作周期性变化能流也随时间作周期性变化. 单位为瓦特单位为瓦特(W).uSA2221(8)由由(7)(8)式可知式可知, 能流和平均能流与通过的面积有关能流和平均能流与通过的面积有关, 还不能反映波的强度还不能反映波的强度.(9)uA2221由由(8)(9)可知可知, 能流密度就是能流密度就是单位时间单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量内通过垂直于传播方向的单位面积的能量.能流密度越大能流密度越大, 表示波动越强烈表示波动越强烈.能流密度的单位为能流密度的单位为 W/m2.Suuudtl10. 3 波波 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大
12、学8例例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比, 并求球面简谐波的波函数并求球面简谐波的波函数.证证: 由第由第15.1节可知节可知, 球面波的波面是球面球面波的波面是球面.1s2s1r2r2222221221421421ruAruA即即根据能量守恒原理根据能量守恒原理, 当介质无吸收时当介质无吸收时, 通过两个球面的平均能流相等通过两个球面的平均能流相等.2211uSwuSw得得1221rrAA由此可得由此可得, 设波通过球面设波通过球面S1时的振幅为时的振幅为A1;通过球面通过球面S1时的振幅为时的振幅为A1.21PP 由由上式表明上式表明, 球
13、面波在向外传播的过程中球面波在向外传播的过程中, 传的越远振幅越小传的越远振幅越小;且振幅与离开波源的距离成反比且振幅与离开波源的距离成反比.)(cos),(urtrAtry由此可得球面波的波函数为由此可得球面波的波函数为10. 3 波波 的的 能能 量量/16上海师范大学上海师范大学910. 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉日常现象：日常现象： 声音可以在物体上产生反射；声音可以在物体上产生反射； 水波能绕过小障碍物水波能绕过小障碍物.为什么会产生这些现象为什么会产生这些现象 ? 如何解释这些现象如何解释这些现象 ?最早对这些现象进行科学解释的是物理学家惠更斯最早对这些
14、现象进行科学解释的是物理学家惠更斯.惠更斯原理惠更斯原理: : 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在 其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.一、惠更斯原理一、惠更斯原理球面波的传播球面波的传播新波前新波前波前波前子波子波O1R2Rtu平面波的传播平面波的传播tutuRR12根据惠更斯原理根据惠更斯原理, 可以描绘出任意波动的传播可以描绘出任意波动的传播/16上海师范大学上海师范大学10波在传播过程中遇到障碍物时波在传播过程中遇到障碍物时, 能绕过障碍物能绕过障碍物, 在障碍物
15、的阴影区内继续传播在障碍物的阴影区内继续传播. 二、波的衍射二、波的衍射水波通过狭缝后的衍射现象水波通过狭缝后的衍射现象这种波绕过障碍物的现象叫这种波绕过障碍物的现象叫波的衍射波的衍射.惠更斯原理解释波的衍射惠更斯原理解释波的衍射 阴影区阴影区波的衍射波的衍射衍射是波动的重要征之一衍射是波动的重要征之一.但为什么有时很容易观察到衍射但为什么有时很容易观察到衍射, 有时观察不到呢有时观察不到呢 ?要使衍射现象显著要使衍射现象显著, 则障碍物的大小应接近或小于波长则障碍物的大小应接近或小于波长.若障碍物的大小远大于波长若障碍物的大小远大于波长, 则观察不到衍射现象则观察不到衍射现象 !“隔墙有耳隔
16、墙有耳” -声音绕过门窗缝等传到墙的另一面声音绕过门窗缝等传到墙的另一面.10. 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉/16上海师范大学上海师范大学11三、波的反射和折射三、波的反射和折射如在雷雨天气如在雷雨天气, 一次闪电过后往往可以听到好几次雷声一次闪电过后往往可以听到好几次雷声 . 为什么为什么 ?光是电磁波光是电磁波, 人发出的光在镜面上产生反射成像人发出的光在镜面上产生反射成像 ! 为什么为什么 ?又如将一根筷子插入盛满水的碗中又如将一根筷子插入盛满水的碗中, 会看到筷子在水面处产生弯折会看到筷子在水面处产生弯折!为什么为什么 ?这是光在水表面处产生折射引起的结果这
17、是光在水表面处产生折射引起的结果.1. 波的反射和折射现象波的反射和折射现象这是由于闪电产生的声波这是由于闪电产生的声波在云层多次反射在云层多次反射的结果的结果.又如在空旷的山谷里或大楼里高声叫喊又如在空旷的山谷里或大楼里高声叫喊, 可以听到明显的可以听到明显的“回声回声”. -这也是声波的反射现象这也是声波的反射现象.(i) 机械波的反射和折射机械波的反射和折射(ii) 电磁波的反射和折射电磁波的反射和折射如照镜子可以看清自己的如照镜子可以看清自己的“真面目真面目” !上述现象说明上述现象说明, 波波(机械波和电磁波机械波和电磁波)在两种介质的分界面处可以产生反射和在两种介质的分界面处可以产
18、生反射和折射折射, 形成形成反射波反射波和和折射波折射波.反射和折射波的传播方向如何确定反射和折射波的传播方向如何确定 ?10. 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉/16上海师范大学上海师范大学122. 反射定律反射定律IiRriL上述结论可以用惠更斯原理进行证明上述结论可以用惠更斯原理进行证明.1）反射线反射线L、入射线、入射线I和界面的法线和界面的法线N在同一平面内；在同一平面内；2）反射角等于入射角反射角等于入射角 , 即即 ii 根据实验观测根据实验观测, 可以得到如下可以得到如下反射定律反射定律:i i i A1A2A3B2B3B1NNAId (a) 时刻时刻 t
19、 的波前位置的波前位置B2B3B1NNAIB32dd3dLiii(b) 时刻时刻 t+t 的波前位置的波前位置设波为平面波设波为平面波, 当波斜入射时当波斜入射时, 波前上的各点是波前上的各点是先后到达先后到达介质的界面介质的界面上上. 图图(a) 是是t时刻的波前图时刻的波前图. 波前上的波前上的A点到达界面上点到达界面上.设设 AB1= B1B2 = B2B3; 经过经过 t时间后时间后, A3点到达界面点到达界面B3, 因此有因此有 A3B3= d = u t.由此可得由此可得, AA3B3 B3BA 因为因为波速不变波速不变, 因此有因此有AB=d t 时间内时间内从从A,B1,B2发
20、射子波发射子波, 这些子波波前的这些子波波前的包络就是反射包络就是反射波的波前波的波前. 如图如图(b)所示所示.则有则有 ABBABA333 ii 即即N 界面界面介质介质II介质介质I10. 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉/16上海师范大学上海师范大学13上述结论同样可以用惠更斯原理上述结论同样可以用惠更斯原理证明证明:时刻时刻 t 波在介质波在介质I中的波前位置中的波前位置i i i A1A2A3B2B3B1NNAId1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；21sinsinuuri2）2. 折射定律折射定律IiiLN 界
21、面界面介质介质II介质介质IrR式中式中 u1 , u2 分别是波在介质分别是波在介质I和介质和介质II中的波速中的波速.如下图所示如下图所示, 是是t时刻在介质时刻在介质I中的波前图和中的波前图和t+ t 时刻在介质时刻在介质II中的波前图中的波前图.由于波在两种介质中的由于波在两种介质中的速度不同速度不同, 因此在因此在 t 内波在两种介质中内波在两种介质中传播的距离传播的距离不同不同.时刻时刻 t+t波在介质波在介质II中的波前位置中的波前位置B2B3B1NNAIrrBRr12uu A310. 4 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射和干涉波的衍射和干涉/16上海师范大学上海师范大学14时刻时刻 t 波在介质波在介质I中的波前位置中的波前位置i i i A1A2A3B2B3B1NNAId;133tuBAtuAB2;33iABArABB32112sinsinsinsinuuriiturtu由此可得由此可得在在AA3B3 中, ;sinsin1333ituiBAAB而在而在B3 BA中, ;sinsin23rturABAB?12结果如何若uu 时刻时刻 t+t波在介质波在介质II中的波前位置中的波前位置B2B3B1NNAIrrBRr12uu A310
